ยินดีต้อนรับสู่โลกที่มีพลวัตของ ฟังก์ชันเวกเตอร์. แตกต่างจากสมการคงที่ในอดีต ฟังก์ชันเวกเตอร์ช่วยให้เราอธิบายเส้นทางของจุดที่เคลื่อนที่ผ่านอวกาศได้ ลองนึกภาพอนุภาคที่เคลื่อนที่ผ่านพื้นที่ว่างเปล่า ตำแหน่งของมันที่เวลาใดๆ $t$ จะถูกกำหนดโดยเวกเตอร์ที่ยึดอยู่ที่จุดกำเนิด ชี้ไปยังตำแหน่งของมันในสามมิติ
นิยามของเส้นโค้งในอวกาศ
เมื่อเราแปลงพารามิเตอร์จริง $t$ ไปยังฟังก์ชันประกอบสามฟังก์ชันแยกกัน เราจะนิยามเป็น เส้นโค้งในอวกาศ $C$.
เซต $C$ ของจุดทั้งหมด $(x, y, z)$ ในอวกาศ โดยที่: $$x = f(t) \quad y = g(t) \quad z = h(t)$$ และ $t$ เปลี่ยนแปลงตลอดช่วง $I$ จะเรียกว่าเป็น เส้นโค้งในอวกาศ.
หรือใช้สัญลักษณ์เวกเตอร์: $$\mathbf{r}(t) = \langle f(t), g(t), h(t) \rangle = f(t)\mathbf{i} + g(t)\mathbf{j} + h(t)\mathbf{k}$$ ที่นี่ $\mathbf{r}(t)$ คือ เวกเตอร์ตำแหน่ง ของอนุภาคที่เคลื่อนที่ที่เวลา $t$
แบบจำลองทางเรขาคณิตสำคัญ
- เกลียวสปริง: เส้นโค้งที่พันขึ้นรอบทรงกระบอก (ปกติ $x^2 + y^2 = a^2$) นี่คือรูปทรงเรขาคณิตพื้นฐานของสปริงและโครงสร้างเกลียวคู่ของดีเอ็นเอ
- พหุนามแบบเกลียว: เส้นโค้งไม่ระ плานาแบบคลาสสิกที่มองเห็นได้จากการตัดกันของสองทรงกระบอก: $y = x^2$ และ $z = x^3$ มันบิดเบี้ยวผ่านทุกมิติสามมิติพร้อมกัน
ตัวอย่างจากสาขาความรู้
อธิบายเส้นโค้งที่กำหนดโดย $\mathbf{r}(t) = \langle 1 + t, 2 + 5t, -1 + 6t \rangle$
วิเคราะห์: นี่คือสมการพารามิเตอร์ของเส้นตรง มันผ่านจุด $(1, 2, -1)$ และตามทิศทางเวกเตอร์ $\mathbf{v} = \langle 1, 5, 6 \rangle$
วาดเส้นโค้ง $\mathbf{r}(t) = \cos t \mathbf{i} + \sin t \mathbf{j} + t \mathbf{k}$
วิเคราะห์: องค์ประกอบ $x = \cos t$ และ $y = \sin t$ สอดคล้องกับ $x^2 + y^2 = 1$ หมายความว่าเส้นโค้งอยู่บนทรงกระบอกวงกลม เมื่อ $t$ เพิ่มขึ้น $z=t$ ดึงจุดขึ้นไปด้านบน สร้างลวดลายเกลียว
ใช้คอมพิวเตอร์เพื่อแสดงผล $\mathbf{r}(t) = \langle t, t^2, t^3 \rangle$
วิเคราะห์: เส้นโค้งนี้เป็น "เกลียว" เพราะเป็นการตัดกันระหว่างทรงกระบอกพาราโบลา $y = x^2$ และทรงกระบอกพหุนาม $z = x^3$ มันเป็นตัวอย่างมาตรฐานของเส้นโค้งที่ไม่อยู่ในระนาบเดียว